傅里叶变换(Fourier Transform)
核心思想
傅里叶变换是一种将信号或函数分解成不同频率成分的数学工具，核心思想基于一个惊人的假设：任何周期性的波形，无论看起来多么复杂，都可以看作是无数个不同频率、不同振幅和不同相位的正弦波（或余弦波）的叠加。
- 频率 (Frequency)：波动的快慢。比如，高音对应高频，低音对应低频。
- 振幅 (Amplitude)：波的高度，代表了信号的强度或能量。在声音里，就是响度。
- 相位 (Phase)：波在时间轴上的起始位置。
两种视角：时域 vs. 频域
傅里叶变换让我们可以在两个不同的“世界”里观察同一个信号：时域 (Time Domain)：这是我们最熟悉的视角。横轴是时间，纵轴是信号的幅度。它告诉我们信号在“什么时候”发生了什么。比如，一个音乐波形图，我们能看到哪里声音大，哪里声音小。 频域 (Frequency Domain)：这是傅里叶变换后的视角。横轴是频率，纵轴是幅度（或能量）。它告诉我们信号“主要由哪些频率构成”。比如，一个音乐的和弦，在频域里会显示出组成这个和弦的几个清晰的峰值。
计算过程
1.核心物理思想：探针与内积
想象你有一团复杂的信号 $f(t)$（比如一段混合了钢琴和小提琴的录音）。你想知道这里面有没有 440Hz（A音）的声音。傅里叶变换的做法是：构造一个标准的 440Hz 正弦波，让它与原始信号相乘，然后对结果进行积分（求和）。 如果信号中含有 440Hz：当两者的波峰和波谷对齐时，乘积总是正数，积分的结果就会很大（形成一个峰值）。如果信号中不含 440Hz：两者相乘时，时而正、时而负，积分的结果会相互抵消，趋近于零。 这就是傅里叶变换的计算逻辑：它让原始信号 $f(t)$ 去和每一个可能频率的波进行“相关性检验”。检验结果（即积分值）就是该频率的强度。
2.数学表达：傅里叶变换公式
$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt $$
根据欧拉公式：
$$ e^{-i\omega t} = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t) $$所以，公式可以改写成：
$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot [\cos(\omega t) - i\sin(\omega t)]dt $$
其中：$f(t)$：待分析的原始信号（随时间变化的函数）；$\cos(\omega t)$: 用来探测“余弦波”成分（对应波的对称性）；$\sin(\omega t)$：用来探测“正弦波”成分（对应波的相位）。$F(\omega)$：计算结果。它是一个包含实部和虚部的复数。|$F(\omega)$| 代表该频率的强度（能量大小）。
3.离散傅里叶变换
上述公式是在数学上的连续形式。但在计算机里，我们处理的数据是离散的（每隔一段时间采一个点），且数据长度是有限的。因此，计算机使用的是 离散傅里叶变换。 假设我们采集了 $N$个样本点，记为 $x[n]$其中 $n = 0 , 1 , 2 , \cdots , N−1(n=0,1,2,...,N−1)$。
计算过程可以分为以下 4 步：
- 第 1 步：准备探针（基函数）:计算机要分析的频率不是无限多个，而是与样本数 $N$ 相关的 $N$个特定频率。它构造一系列的数字探针，这些探针就是复数旋转向量（对应正弦和余弦的离散形式）。
- 第 2 步：点对点相乘:对于你想检查的某个频率 $k$，计算机将原始信号 $x[n]$ 的每一个点，与探针 $e^{−i2\pi kn/N}$ 对应的点相乘。
- 第 3 步：求和:把上一步乘出来的所有结果加起来，得到一个总和。这个总和就是 $X[k]$（对应频率 $k$ 的变换结果）。
- 第 4 步：重复:重复步骤 1-3，遍历所有的 $k$ 值（从 0 到N−1），得到完整的频域数据。
离散形式的傅里叶变换公式:
$$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] \cdot \left [ \cos \left( \frac{2\pi kn}{N} \right) - i\sin \left(\frac{2\pi kn}{N} \right) \right] $$
如果你直接用$DFT$公式计算，得到的结果 $X[k]$是一个复数。它的模$ |X[k]|$ 的大小是幅度：
$$ \text{mag}[k] = |X[k]| = \sqrt{\text{Re}(X[k])^2 + \text{Im}(X[k])^2} $$
$X[k]：DFT$输出的复数，$\text{Re}$：实部（余弦分量的强度），$\text{Im}：$虚部（正弦分量的强度），$|X[k]|$复数的模（幅度）
快速傅里叶变换（FFT）
你可能会想：按照上面的步骤，如果有 $N$ 个点，就要算 $N$ 个频率，每个频率要做 $N$ 次乘加，总共大约是 $N^2$ 次计算。普通 $DFT$时间复杂度是 $O(N^2)$，而$FFT$利用旋转因子的对称性和周期性，把计算量降低到$O(N\log N)$。
时频图
理解了傅里叶变换能把信号从时间域变到频率域，但标准的傅里叶变换有一个"缺陷"：它丢掉了时间信息。时频图，就是为了解决这个问题而生的。它不再是一个二维平面（频率-强度），而是一个三维立体图（时间-频率-强度），能同时看到信号的频率成分随时间的变化。绘制时频图主要方法：短时傅里叶变换$STFT$,既然对整个信号做一次傅里叶变换会丢掉时间信息，那我就把信号切成很多小段，对每一小段分别做傅里叶变换。
实现步骤:
- 第一步：选择一个窗函数：选择一个固定长度的"窗口"，比如256个采样点。这个窗口像一把尺子，用来从长信号中截取一小段。
- 第二步：滑动窗口并计算：从信号开头开始，用窗口截取一段信号，对这256个点做FFT（快速傅里叶变换），得到这一小段时间内的频谱。然后将窗口向右滑动一段距离（比如滑动128个点），再截取下一段，再做FFT...直到滑到信号末尾。
- 第三步：堆叠成图：把所有小段的频谱按时间顺序排列：
- 横轴：时间（窗口的中心位置）
- 纵轴：频率（FFT计算出的频率）
- 颜色/亮度：该时刻、该频率的强度
QkCalc中的离散傅里叶变换DFT计算
在趣宽数学软件中，通过“数字信号”菜单中的“离散傅里叶变换”中提供了基于快速傅里叶变换(FFT)的信号频谱分析。该模块可以对一个音频文件的信号进行分析并绘制波形和时频图，并计算信号的能量幅度谱，借助可视化的图形来分析数字信号。也可以通过离散傅里叶变换计算器，计算输入的数字信号的傅里叶变换的结果。
