常系数传输方程

常系数传输方程的标准形式是：

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 $$

其中：$u(x,t)$是未知函数（例如流体的密度、浓度、温度等）。$c$ 是一个常数（实数），代表传输速度或波速。$\frac{\partial u}{\partial t}$​是时间变化率，$\frac{\partial u}{\partial x}$是空间变化率

方程的含义：物理量 u u 随时间的变化，完全是由其以恒定速度 c c 在空间中的“流动”或“传输”引起的。

更一般形式的源项方程：

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = f(x,t) $$

在QkCalc中，常系数传输方程的输入模板为：

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}t} + c \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}x} = 0 \\ {\color{red}u}({\color{red}x,t}) = \Box \end{cases}$$

其中$u$是未知函数的符号。$t,x$是自变量。如果$u(x,t)=$右侧表达式为空，则表明求解的结果使用通解。例如上述表达式的通解是：

$$ u(x,t) = u(-tc + x,0) $$

有初值的情况：

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}t} + c \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}x} = 0 \\ {\color{red}u}({\color{red}x,t}) = e^{-x^2}\end{cases}$$

非齐次的情况：

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}t} + c \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}x} = e^{-t} \\ {\color{red}u}({\color{red}x,t}) = 0\end{cases}$$

上面的方程通解是：

$$ u(x,t) = \phi(-tc+x)+1-e^{-t}$$

其中$\phi$表示初始波形

常系数非齐次，且有初始函数：

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}t} + c \frac{\partial^2\color{red}u}{\partial\color{#08c365}x} = e^{-t} \\ {\color{red}u}({\color{red}x,t}) = \sin(x)\end{cases}$$

在QkCalc中它显示的解是：

$$ u(x,t)=\sin(-2t+x)+1-e^{-t}$$