热传导方程

一维热传导方程标准形式

$$ \LARGE \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中：$\alpha$热扩散率,该方程的数学形式是：

$$\LARGE u_t = u_{xx}$$

直觉理解就是：$u_t$​(温度变化率)正比于$u_{xx}$​(温度曲线的弯曲方向)

符号	数学身份	物理含义	单位（示意）
$u$	因变量（未知函数）	温度	$^\circ C$
$x$	空间自变量	位置	$m$
$t$	时间自变量	时间	$s$
$u_t$	一阶偏导	温度随时间的变化率	$^\circ C/s$
$u_{tt}$	二阶空间偏导	温度的“弯曲程度”（拉普拉斯）	$^\circ C/m^2$
$\alpha$	热扩散率（这里取1）	热量扩散的快慢	$m^2/s$

后者是“无量纲化”后的形式，热扩散率$α=1$，前者是带物理尺度的原始形式。我们通过一个最经典、最完整的例子，来演示一维热传导方程的求解全过程。这个例子会包含建模、分离变量、特征值问题、傅里叶级数展开、物理意义解释五个步骤。

题目：一根长度为 $L$ 的均匀细杆，侧面绝热。求杆内温度分布$u(x,t)$

第一步：写出定解问题：

$$ \begin{cases} u_t=u_{xx} \\ u(0,t) = 0， u(L,t) = 0 \\ u(x,0) = f(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < L/2 \\ 0, & L/2 < x < L \end{cases} \end{cases} $$

边界条件：$u(0, t) = 0$:左端温度始终为零；$u(L,t) = 0$右端温度始终为零。$u(x,0),t=0$时刻的温度分布,$f(x)$给定的初始温度函数。

第二步：分离变量：

设

$$ u(x,t) = X(x)T(t) $$代入方程：

$$ X(x)T'(t) = X''(x)T(t)$$两边除以$X(x)T(t)$:

$$ \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda $$得到两个常微分方程：

$$ T'(t) + \lambda T(t) = 0$$

$$ X''(x) + \lambda X(x) = 0$$

第三步：解特征值问题:

求解

$$ X'' + \lambda X= 0， X(0)=0， X(L) = 0 $$

若 $ \lambda \leq 0$，只有零解（不符合非零解要求）。

若 $ \lambda > 0 $，设$\lambda = \beta^2$，通解：

$$ X(x) = A\cos（\beta x) + B\sin(\beta x) $$

由$X(0) = 0$得A=0，所以：

$$ X(x) = B \sin(\beta x)$$

由 $X(L) = 0$得：

$$ \sin(\beta L) = 0 \implies \beta L = n\pi, n=1,2,3,\dots $$即：

$$ \beta_n = \frac{n\pi}{L}，\lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L}\right)^2 $$

特征函数：

$$ X_n(x) = \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right)$$

第四步：解时间部分:

对于每个$\lambda_n$：

$$ T'(t) + \lambda_n T(t) = 0 $$

解该一阶线性微分方程得：

$$ T_n(t)=C_ne^{-\lambda_nt}=C_ne^{-\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t } $$

第五步：叠加与初始条件:

通解为所有模式的叠加：

$$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)X_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty} C_ne^{-\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t } \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) $$

代入初始条件$u(x,0)=f(x)$：

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) $$

第六步：求傅里叶正弦系数:

$$ C_n = \frac{2}{L} \int_{0}^L f(x)\sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) dx $$

代入$f(x)$：

$$ C_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L/2} 1 \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) dx $$

计算：

$$ \frac{2}{L} \int_{0}^{L/2} 1 \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{2}{n\pi}[1-\cos(\frac{n\pi}{2})]$$

第七步：最终解:

$$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}[1-\cos(\frac{n\pi}{2})] \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) e^{-\left(\frac{n\pi}{L} \right)^2 t}$$

如果左右端初始温度不为零，如何求解？

写出定解问题：

$$ \begin{cases} u_t=u_{xx} \\ u(0,t) = T_1， u(L,t) = T_2 \\ u(x,0) = f(x) \end{cases} $$

第一步：找稳态解$w(x)$

因为边界条件是常数，热量最终会达到一个稳定的线性分布（拉普拉斯方程的解）。令 $w(x)$满足：

$$ w''(x)=0， w(0) = T_1， w(L) = T_2$$解得：

$$ w(x) = T_1 + \frac{T_2-T_1}{L}x$$

第二步：设$u=v+w$，导出 $v$的齐次边界问题

代入方程：

$$ (v+w)_t = \alpha(v+w)_{xx}$$

因为 $w$ 不随时间变化（常数边界）， $w_t = 0$；且 $w_{xx} = 0$，所以：

$$ v_t = \alpha v_{xx}$$方程形式不变。

$$ u(0,t) = T_1 \implies v(0,t) + w(0) = T_1 \implies v(0,t) + T_1 = T_1 \implies v(0,t) = 0 $$

$$ u(L,t) = T_2 \implies v(L,t) + w(L) = T_2 \implies v(L,t) + T_2 = T_1 \implies v(L,t) = 0 $$齐次了！

初始条件：

$$ u(x,0)=f(x)⇒v(x,0)+w(x)=f(x)⇒v(x,0)=f(x)−w(x) $$

第三步：解 $v$ 的齐次边界问题

$$ \begin{cases} v_t= \alpha v_{xx} \\ v(0,t) = 0， v(L,t) = 0 \\ v(x,0) = f(x) - [T_1 + \frac{T_2-T_1}{L}x] \end{cases} $$

这就是我们之前完整求解过的标准问题！解为：

$$ v(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right)e^{-\alpha \left( \frac{n \pi}{L}\right)^2 t} $$

因为 $ v(x,0) = f(x) - [T_1 + \frac{T_2-T_1}{L}x] $，所以：

$$ f(x) - [T_1 + \frac{T_2-T_1}{L}x] = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) $$

求傅里叶正弦系数

$$ C_n = \frac{2}{L} \int_{0}^L \left[ f(x) - T_1 - \frac{T_2 - T_1}{L} x \right] \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) dx$$

第四步：原问题的解:$u=v+w$

$$ u(x,t) = T_1 + \frac{T_2 - T_1}{L} x + \sum_{n=1}^{\infty} C_n\sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) e^{-\alpha \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}$$