拉普拉斯方程

定义

$$\nabla^2\phi=0 $$展开为：

$$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0$$

其中$\nabla^2$是拉普拉斯算子（Laplacian）$\phi$是待求的标量函数（例如电势、温度、重力势等）

物理意义

拉普拉斯方程描述的是在没有源（source）或汇（sink） 的区域内，某种物理量的稳态（不随时间变化）分布。常见应用场景包括：

• 静电场：在无电荷区域$(\rho=0)$，电势$V$ 满足 $\nabla^2V = 0$。
• 稳恒温度场：在没有热源的区域，稳态温度分布满足拉普拉斯方程。
• 不可压缩流体的势流：速度势函数在无旋、不可压缩流体中满足该方程。
• 重力势：在没有质量分布的区域，重力势满足拉普拉斯方程。

求解与边值问题

拉普拉斯方程通常与边界条件结合求解，主要分为三类：

1.狄利克雷问题：给定边界上函数的值$\phi∣\partial \Omega=f$。

2.诺伊曼问题：给定边界上法向导数的值$ \frac{\partial \phi}{\partial n} | \partial \Omega = g $。

3.混合边值问题：部分边界给函数值，部分给法向导数。

这些问题的解在适定条件下存在且唯一。

二维拉普拉斯方程

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} =0$$

例子：

1.问题设定

• $u(c_1,y)=0$ (左边界齐次)
• $u(c_2,y)=0$ (右边界齐次)
• $u(x,2)=0$ (下边界齐次$y=2$)
• $u(x,b)=f(x)$ (上边界非齐次)

矩形区域：$c_1 < x < c_2， 2 < y < b$，令$L=c_2-c_1, H=b-2$

2.分离变量

设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，代入方程得：

$$ X''Y + XY'' = 0 \implies \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = \lambda $$

$$ X''-\lambda X = 0， Y'' + \lambda Y = 0 $$

3.解$X$特征值方程

边界条件：

$$ u(c_1, y) = X(c_1)Y(y) = 0 \forall y \implies X(c_1) = 0 $$

$$ u(c_2, y) = X(c_2)Y(y) = 0 \forall y \implies X(c_2) = 0 $$

所以$X$满足:

$$ X''-\lambda X = 0， X(c_1) = 0, X(c_2) = 0$$

这是一个特征值问题，我们考虑$λ<0$(因为只有振荡解才能满足两端为零)。

令$\lambda = -\mu ^2(\mu > 0)$,方程变为 $X''+\mu^2X=0$,通解：

$$ X(x) = A\cos(\mu x) + B\sin(\mu x)$$

利用$X(c_1) = 0$，可写为更简洁的形式（平移）：

$$X(x) = \sin(\mu(x-c_1))$$自动满足$X(c_1)=0$

再由$X(c_2)=0$：

$$ \sin(\mu (c_2 -c_1)) = \sin(\mu L) = 0$$

$$ \mu L = n\pi \implies \mu_n = \frac{n\pi}{L}，n=1,2,3,\dots$$

对应的：

$$ \lambda_n = -\mu_n^2 = -\left(\frac{n\pi}{L} \right)^2$$

特征函数：

$$ X_n(x)= \sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right)$$

4.解对应$Y$方程

将$\lambda_n = -\mu_n^2$代入$Y'' + \lambda_n Y = 0$得到：

$$ Y'' -\mu_n^2 Y = 0 $$通解：

$$ Y_n(y) = C_n\cosh(\mu_ny) + D_n\sinh(\mu_n y) $$

利用下边界条件$u(x, 2)=0$:

$$ u(x,2)=X(x)Y(y) = 0 \forall x \implies Y(2) = 0$$所以：

$$ Y_n(2)=C_n\cosh(2\mu_n) + D_n\sinh(2\mu_n) = 0$$由此解出：

$$ C_n = -D_n\tanh(2\mu_n)$$代入通解：

$$ Y_n(y)=D_n[-\tanh(2\mu_n)\cosh(\mu_ny) + \sinh(\mu_n y)]$$

利用双曲恒等式化简方括号内：

$$ -\tanh(2\mu_n)\cosh(\mu_ny) + \sinh(\mu_n y) = \frac{1}{\cosh(2\mu_n)}[\sinh(\mu_ny)\cosh(2\mu_n) - \cosh(\mu_ny)\sinh(2\mu_n)] $$

利用公式 :$ \sinh(a-b) = \sinh(a)\cosh(b) - \cosh(a)\sinh(b) $:

$$ = \frac{\sinh(\mu_ny-2\mu_n)}{\cosh(2\mu_n)} = \frac{\sinh(\mu_n(y-2))}{\cosh(2\mu_n)} $$所以：

$$Y_n(y)= D_n \frac{\sinh(\mu_n(y-2))}{\cosh(2\mu_n)} $$

令$E_n = \frac{D_n}{\cosh(2\mu_n)}$,则：

$$Y_n(y)= E_n \sinh(\mu_n(y-2))$$并且自动满足：$Y_n(2) = 0$

5.构造一般解

$$ u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n\sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right) \sinh(\mu_n(y-2))$$

6. 利用上边界确定系数

上边界$u(x,b)=f(x)$:

$$ u(x,b) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n \sinh(\mu_n(b-2)) \sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right) = f(x) $$

令$F_n = E_n\sinh(\mu_nH)， H=b-2$,则：

$$ \sum_{n=1}^{\infty} F_n \sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right) = f(x)$$

这是 $f(x)$在区间 $[c_1,c_2]$上关于正交基 $\sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right)$ 的傅里叶正弦展开。系数：

$$ F_n = \frac{2}{L}\int_{c_1}^{c_2} f(x) \sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right) dx $$，因此

$$E_n = \frac{F_n}{\sinh(\mu_nH)} = \frac{2}{L\sinh(\frac{n\pi H}{L})} \int_{c_1}^{c_2} f(x) \sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right) dx $$

7.最终解

$$ u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{2}{L\sinh(\frac{n\pi H}{L})} \int_{c_1}^{c_2} f(\xi) \sin\left( \frac{n\pi}{L}(\xi - c_1) \right) d\xi \right] \sin\left(\frac{n\pi}{L}(x-c_1) \right) \sinh\left( \frac{n\pi}{L}(y-2)\right) $$

8.验证

方程：每一项满足拉普拉斯方程。

边界：

$u(c_1,y)=0$ 因为$\sin⁡(0)=0$

$u(c_2,y)=0$ 因为$\sin⁡(n\pi)=0$

$u(x,2)=0$ 因为$\sinh⁡(0)=0$

$u(x,b)=f(x)$ 由$F_n$的定义保证

9.物理意义

这是一个矩形板，三个边（左、右、下）温度为零，上边温度分布为 $f(x)$，求稳态温度分布。 解在$y$方向从下边$(y=2)$的零值，通过双曲正弦增长到上边$(y=b)$的 $f(x)$分布；在$x$方向是正弦振荡，匹配左右零边界。

线性叠加

如果有多个边界是非齐次的，那么可将求解分解成若干个子问题，每个子问题只有一个边界非齐次，其余三个边界为齐次，例如：四个边界都为非齐次的狄利克雷问题，并说明如何通过线性叠加原理将其分解为四个子问题求解。

子问题	左边界	右边界	下边界	上边界
$u_1$	$f_1(y)$	0	0	0
$u_2$	0	$f_2(y)$	0	0
$u_3$	0	0	$g_1(x)$	0
$u_4$	0	0	0	$g_2(x)$

每个子问题都可以用标准的分离变量法求解。

最终解

$$ u(x,y) = u_1(x,y) + u_2(x,y) + u_3(x,y) + u_4(x,y)$$

$n$大小

在拉普拉斯方程的解

$$ u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_nX_n(x)Y_n(y)$$

$n$ 的大小决定了空间模式的振荡频率（波数）和衰减速率。靠近非齐次边界时，高阶模式贡献明显；远离边界时，只有最低阶模式$(n=1)$主导。所以高阶模式是“细节修正”，让解更精确地匹配边界条件。就像 Fourier 级数表示一个波形：基频（ $n =1$）决定大致形状，高次谐波（ $n > 1$）添加细节。在传热中，高阶模式对应温度场的“精细结构”，它们衰减快，只在边界附近重要。

在QkCalc中求解拉普拉斯方程

拉普拉斯方程 - 狄利克雷边界：在趣宽数学软件“偏微分方程”菜单中，选择“拉普拉斯方程 - 狄利克雷边界”可插入求解该二维拉普拉斯方程的输入模板。

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\ \small 左边界: \LARGE u(0, y) = 0 \\ \small 右边界: \LARGE u(a,y) = 0 \\ \small 下边界: \LARGE u(x, 0) = 0 \\ \small 上边界: \LARGE u(x,b) = f(x) \end{cases}$$

在边界条件中$u(x,y)=0$表明是齐次项,其中左右边界$x$作为自变量，保持$y$不变，它的等式右边是关于$y$的函数；上下边界$y$作为自变量，保持$x$不变，它的等式右边是关于$x$的函数。例如：

左或右是非齐次项：

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\ \small 左边界: \LARGE u(0, y) = y^2 \\ \small 右边界: \LARGE u(2,y) = 0 \\ \small 下边界: \LARGE u(x, 0) = 0 \\ \small 上边界: \LARGE u(x,10) = 0 \end{cases}$$

上或下是非齐次项：

$$ \LARGE \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\ \small 左边界: \LARGE u(0, y) = 0 \\ \small 右边界: \LARGE u(2,y) = 0 \\ \small 下边界: \LARGE u(x, 0) = 0 \\ \small 上边界: \LARGE u(x,10) = \sin(2x) \end{cases}$$

方程图像

如果方程的解析解除了自变量$x,y,n$之外没有其他符号，且解析解中不含积分项，那么可通过右侧的代数运算工具栏中“偏微分方程图像”绘制偏微分方程图。具体操作是先单击求解结果，然后单击偏微分方程图像就可以在求解结果的下面插入该结果的图像。

$$ \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\ \small 左边界: u(0, y) = y^2 \\ \small 右边界: u(2,y) = 0 \\ \small 下边界: u(x, 0) = 0 \\ \small 上边界: u(x,10) = 0 \end{cases}$$

三维拉普拉斯方程

在直角坐标系下，三维拉普拉斯方程为：

$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0$$

其中$u=u(x,y,z)$ 是待求的标量函数（如电势、温度、压力势等）。

一、直角坐标系下的分离变量法

设解为$u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，代入得：

$$ X''YZ + XY''Z + XYZ'' = 0$$

除以$XYZ$：

$$ \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \frac{Z''}{Z} = 0$$令:

$$\frac{X''}{X} = -\alpha^2, \quad \frac{Y''}{Y} = -\beta^2, \quad \frac{Z''}{Z} = \gamma^2$$

其中$\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$

得到三个常微分方程：

$$ X'' + \alpha^2X = 0, \quad Y''+\beta^2 Y = 0, \quad Z''-(\alpha^2+\beta^2)Z = 0$$

解的形式为：

$$ X \sim \sin(\alpha x), \cos(\alpha x), \quad Y \sim \sin(\beta y), \cos(\beta y), Z \sim e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}$$

然后根据具体边界条件（如矩形区域边界上的 $u$ 或法向导数给定）确定 $\alpha, \beta$ 的取值（本征值），再叠加成级数解，通过正交性确定系数。

例子

考虑一个长方体区域：

$$ 0 < x < a, \quad 0 < y < b, \quad 0 < z < c$$

边界条件：五个面（ $x = 0 、 x = a、 y = 0 、 y = b、 z = 0 ）$上 $u=0$，顶面 $z=c$ 上给定：

$$ u(x,y,c) = f(x,y)$$

物理类比: 想象一个长方体的金属盒子：五个面（底面 $z=0$，四个侧面 $x = 0 , a$和 $y=0,b$）是金属导体，且接地（电势 $u=0$） 顶面 $z=c$是绝缘的，但被施加了特定的电势分布 $f(x,y)$（例如用独立的电极阵列控制）

为什么这样设置？

齐次边界条件 $(u=0)$ 使分离变量法可行，产生正弦函数等本征函数；一个非齐次边界 $(u=f(x,y))$ 驱动整个区域的电势分布。这是拉普拉斯方程最标准的求解模式：只有一个边界非零，其余边界齐次

第一步：分离变量

设

$$ u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)$$

代入拉普拉斯方程:

$$ X''YZ + XY''Z + XYZ''=0 $$除以$XYZ$：

$$ \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \frac{Z''}{Z} = 0$$

令:$$ \frac{X''}{X} =-\alpha^2, \quad \frac{Y''}{Y} = -\beta^2, \quad \frac{Z''}{Z}=\gamma^2$$，则有：

$$ -\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 = 0 \quad \implies \quad \alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2 $$

第二步：求解常微分方程

X 方程:

$$ X'' + \alpha^2 X = 0$$

边界条件：$u(0,y,z)=0⇒X(0)=0, u(a,y,z)=0⇒X(a)=0$通解：

$$ X(x) = A\cos(\alpha x) + B\sin(\alpha x)$$

由$X(0)=0$得 $A=0$。由 $X(a)=0$ 得：

$$ B\sin(\alpha a) = 0 \implies sin(\alpha a) = 0$$所以：

$$ \alpha_n a = n\pi, \quad \alpha_n = \frac{n\pi}{a}, \quad n = 1,2,3,\dots$$

本征函数：

$$ X_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{a}\right)$$

Y 方程：

同理：

$$ Y'' + \beta^2 Y = 0$$

边界条件$Y(0)=0，Y(b)=0$，得：

$$\beta_m = \frac{m\pi}{b}, \quad m=1,2,3,\dots$$

$$ Y_m(y) = \sin\left(\frac{m\pi y}{b} \right)$$

Z 方程：

由$\gamma^2 = \alpha_n^2 + \beta_m^2$记：

$$ \gamma_{nm} = \sqrt{\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{m\pi}{b}\right)^2} $$

方程为：

$$ Z'' -\gamma_{nm}^2Z = 0$$

通解：$$ Z(z) = Ce^{\gamma_{nm}z} + De^{-\gamma_{nm}z} $$

或写作双曲函数：

$$ Z(z) = C\cosh(\gamma_{nm}z) + D\sinh(\gamma_{nm}z) $$

边界条件： $z=0$ 时 $u = 0 ⇒ Z ( 0 ) = 0 $，代入得 $C=0$，所以：

$$ Z_{nm}(z) = \sinh(\gamma_{nm}z) $$

第三步：叠加构造通解

由线性叠加原理：

$$ u(x,y,z) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}B_{nm} \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left(\frac{m\pi y}{b} \right) \sinh(\gamma_{nm}z)$$

其中$B_{nm}$为待定系数。

第四步：利用顶面边界条件确定系数

在$z=c$处：

$$ u(x,y,c)= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}B_{nm} \sinh(\gamma_{nm}c) \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left(\frac{m\pi y}{b} \right) = f(x,y) $$

记:$\tilde{B}_{nm} = B_{nm} \sinh(\gamma_{nm}c)$则：

$$ f(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\tilde{B}_{nm} \sin\left(\frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left(\frac{m\pi y}{b}\right) $$

这是二维傅里叶正弦级数，利用正交性：

$$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left( \frac{m\pi y}{b} \right) \sin\left( \frac{n'\pi x}{a} \right) \sin\left( \frac{m'\pi y}{b} \right)dxdy = \frac{ab}{4}\delta_{nn'}\delta_{mm'} $$所以：

$$\tilde{B}_{nm} = \frac{4}{ab}\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} f(x,y) \sin\left(\frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left(\frac{m\pi y}{b}\right) dxdy$$于是：

$$ B_{nm} = \frac{\tilde{B}_{nm}}{\sinh(\gamma_{nm}c)} = \frac{4}{ab\sinh(\gamma_{nm}c)} \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} f(x,y) \sin\left(\frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left(\frac{m\pi y}{b}\right) dxdy$$

第五步：最终解

$$ u(x,y,z) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{4}{ab\sinh(\gamma_{nm}c)} \left[\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}f(\xi, \eta) \sin\left(\frac{n\pi \xi}{a}\right) \sin\left(\frac{n\pi \eta}{b}\right) d\xi d\eta \right] \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left(\frac{m\pi y}{b}\right) \sinh(\gamma_{nm}c)$$

其中:

$$\gamma_{nm} = \sqrt{\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{m\pi}{b}\right)^2} $$

在QkCalc中求解三维拉谱拉斯方程

在趣宽数学软件中，通过“偏微分方程”->“拉谱拉斯方程”->“三维拉谱拉斯方程-狄利克雷边界”可求解该方程的三维形式。在当前文档中插入输入模板之后，系统通过一个三维图像提示用于输入6个边界的值。 这6个边界组成了6个面，由这6个面围成了一个长方体，三维拉谱拉斯方程可同时求解多个边界的非齐次问题。

$$ \begin{cases} \LARGE \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 \\ 前面u(0, y, z)=0 \\ 后面 u(a, y ,z) = 0\\ 左面 u(x,0,z) = 0 \\ 右面 u(x,b,z)=0 \\ 底面 u(x,y,0) = 0 \\ 顶面 u(x,y,c) = f2(x,y) \end{cases}$$

这是一个边界范围为$ 0 < x < a, \quad 0 < y < b, \quad 0 < z < c$的长方体。其中$f2(x,y)$表示抽象函数。注意：前面和后面是关于$y,z$的函数,可用抽象函数表示为$f2(y,z)$，左面和右面是关于$x,z$的函数，可用抽象函数表示为$f2(x,z)$；底面和顶面是关于$x,y$的函数，可用抽象函数表示为$f2(x,y)$ 。当边界含有符号时，系统将给出含有符号的解析解。当边界是具体的数字时，系统将求解最终的答案，并可通过上下文菜单绘制偏微分方程图。